Tổng quan

Mục tiêu
Học xong chương này, sinh viên phải nắm bắt được các vấn đề sau:
- Thế nào là hệ đồ họa
- Thiết kế và cài đặt được các thủ tục vẽ và tô các đường cơ bản như đường thẳng, đường tròn, elip, và các đường cong khác.
Tài liệu tham khảo
Donald Hearn, M. Pauline Baker. Computer Graphics . Prentice-Hall, Inc., Englewood Cliffs, New Jersey , 1986 (chapters 3, 55-76).
Nội dung cốt lõi
Thiết lập thủ tục vẽ :
- Đường thẳng bằng giải thuật Bresenham
- Đường thẳng bằng giải thuật DDA
- Đường tròn bằng giải thuật đối xứng
- Đường tròn bằng giải thuật Bresenham
- Đường tròn bằng giải thuật MidPoint
- Ellippse
- Đa giác
Kiến thức cơ bản cần thiết
Các kiến thức cơ bản cần thiết để học chương này bao gồm :
- Các khái niệm toán học về đường thẳng như : đường thẳng là gì : dạng tổng quát phương trình đường thẳng, hệ số góc, tung độ dốc.
- Hiểu rõ hình dáng của đường thẳng phụ thuộc vào hệ số góc như thế nào.
- Phương trình tổng quát của đường tròn, ellippse ( không có tham số và có tham số)
- Kỹ thuật lập trình: thiết lập thủ tục, hàm (lưu ý truyền qui chiếu và truyền giá trị)

Hệ tọa độ thế giới thực, hệ tọa độ thiết bị và hệ tọa độ chuẩn

Một hệ mềm đồ họa được mô tả bao gồm 3 miền như sau :

Miền điều khiển : bao bọc toàn bộ hệ thống.

Miền thực : nằm trong miền điều khiển. Khi một số nào đó thâm nhập vào miền thực, nó sẽ được chuyển thành số thực dấu phẩy động, và khi có một số rời khỏi miền này thì nó sẽ được chuyển thành số nguyên có dấu 16 bits.

Miền hiển thị : nằm trong miền điều khiển nhưng phân biệt với miền thực. Chỉ có số nguyên 16 bits mới nằm trong miền hiển thị.

Trong lĩnh vực kỹ thuật đồ họa, chúng ta phải hiểu được rằng thực chất của đồ họa là làm thế nào để có thể mô tả và biến đổi được các đối tượng trong thế giới thực trên máy tính. Bởi vì, các đối tượng trong thế giới thực được mô tả bằng tọa độ thực. Trong khi đó, hệ tọa độ thiết bị lại sử dụng hệ tọa độ nguyên để hiển thị các hình ảnh. Đây chính là vấn đề cơ bản cần giải quyết. Ngoài ra, còn có một khó khăn khác nữa là với các thiết bị khác nhau thì có các định nghĩa khác nhau. Do đó, cần có một phương pháp chuyển đổi tương ứng giữa các hệ tọa độ và đối tượng phải được định nghĩa bởi các thành phần đơn giản như thế nào để có thể mô tả gần đúng với hình ảnh thực bên ngoài.

Hai mô hình cơ bản của ứng dụng đồ họa là dựa trên mẫu số hóa và dựa trên đặc trưng hình học. Trong ứng dụng đồ họa dựa trên mẫu số hóa thì các đối tượng đồ họa được tạo ra bởi lưới các pixel rời rạc. Các pixel này có thể đuợc tạo ra bằng các chương trình vẽ, máy quét, ... Các pixel này mô tả tọa độ xác định vị trí và giá trị mẫu. Thuận lợi của ứng dụng này là dể dàng thay đổi ảnh bằng cách thay đổi màu sắc hay vị trí của các pixel, hoặc di chuyển vùng ảnh từ nơi này sang nơi khác. Tuy nhiên, điều bất lợi là không thể xem xét đối tượng từ các góc nhìn khác nhau. Ứng dụng đồ họa dựa trên đặc trưng hình học bao gồm các đối tượng đồ họa cơ sở như đoạn thẳng, đa giác,.... Chúng được lưu trữ bằng các mô hình và các thuộc tính. Ví dụ : đoạn thẳng được mô hình bằng hai điểm đầu và cuối, có thuộc tính như màu sắc, độ dày. Người sử dụng không thao tác trực tiếp trên các pixel mà thao tác trên các thành phần hình học của đối tượng.

Hệ tọa độ thế giới thực

Một trong những hệ tọa độ thực thường được dùng để mô tả các đối tượng trong thế giới thực là hệ tọa độ Descartes. Với hệ tọa độ này, mỗi điểm P được biểu diễn bằng một cặp tọa độ (xp,yp) với xp, yp ∈R (xem hình 1).

Ox : gọi là trục hoành.

Oy : gọi là trục tung.

xp : hoành độ điểm P.

yp : tung độ điểm P.

Hệ tọa độ thiết bị

Hệ tọa độ thiết bị (device coordinates) được dùng cho một thiết bị xuất cụ thể nào đó, ví dụ như máy in, màn hình,..

Trong hệ tọa độ thiết bị thì các điểm cũng được mô tả bởi cặp tọa độ (x,y). Tuy nhiên, khác với hệ tọa độ thực là x, y ∈ N. Điều này có nghĩa là các điểm trong hệ tọa độ thực được định nghĩa liên tục, còn các điểm trong hệ tọa độ thiết bị là rời rạc. Ngoài ra, các tọa độ x, y của hệ tọa độ thiết bị chỉ biểu diễn được trong một giới hạn nào đó của N.

Độ phân giải của màn hình trong chế độ đồ họa là 640x480. Khi đó, x∈(0,640) và y∈(0,480) (xem hình 2).

Hệ tọa độ thiết bị chuẩn (Normalized device coordinates)

Do cách định nghĩa các hệ tọa độ thiết bị khác nhau nên một hình ảnh hiển thị được trên thiết bị này là chính xác thì chưa chắc hiển thị chính xác trên thíết bị khác. Người ta xây dựng một hệ tọa độ thiết bị chuẩn đại diện chung cho tất cả các thiết bị để có thể mô tả các hình ảnh mà không phụ thuộc vào bất kỳ thiết bị nào.

Trong hệ tọa độ chuẩn, các tọa độ x, y sẽ được gán các giá trị trong đoạn từ [0,1]. Như vậy, vùng không gian của hệ tọa độ chuẩn chính là hình vuông đơn vị có góc trái dưới (0, 0) và góc phải trên là (1, 1).

Quá trình mô tả các đối tượng thực như sau (xem hình 3):

Thuật toán vẽ đoạn thẳng

Xét đoạn thẳng có hệ số góc 0<m<=1 và x>0. Với các đoạn thẳng dạng này, nếu (xi, yi) là điểm đã được xác định ở bước thứ i thì điểm kế tiếp (xi+1, yi+1) ở bước thứ i+1 sẽ là một trong hai điểm sau (xem hình4) :

Vấn đề đặt ra là chọn điểm vẽ như thế nào để đường thẳng được vẽ gần với đường thẳng muốn vẽ nhất và đạt được tối ưu hóa về mặt tốc độ ?

Thuật toán DDA (Digital DifferentialAnalyzer)

Là thuật toán tính toán các điểm vẽ dọc theo đường thẳng dựa vào hệ số góc của phương trình đường thẳng y=mx+b.

Trong đó: m= ∆x/∆y , ∆y=yi+1 - yi ,∆x=xi+1 - xi

Nhận thấy trong hình vẽ 5 thì tọa độ của điểm x sẽ tăng 1 đơn vị trên mỗi điểm vẽ, còn việc quyết định chọn yi +1 là yi +1 hay yi sẽ phụ thuộc vào giá trị sau khi làm tròn của tung độ y. Tuy nhiên, nếu tính trực tiếp giá trị thực của y ở mỗi bước từ phương trình y=mx+b thì cần một phép toán nhân và một phép toán cộng số thực.

yi +1 = mxi + 1 + b = m(xi + 1) + b = mxi + b + m

Để cải thiện tốc độ, người ta khử phép nhân trên số thực. Ta có : yi = mxi + b

⇒ yi +1 = yi + m → int(yi +1)

Tóm lại khi 0<m<=1 :
xi +1 = xi + 1

yi +1 = yi + m → int(yi +1)
Trường hợp m>1: chọn bước tăng trên trục y một đơn vị.
xi +1 = xi + 1/m → int(xi +1)

yi +1 = yi + 1

Hai trường hợp này dùng để vẽ một điểm bắt đầu từ bên trái đến điểm cuối cùng bên phải của đường thẳng (xem hình 5). Nếu điểm bắt đầu từ bên phải đến điểm cuối cùng bên trái thì xét ngược lại :

0<m<=1: xi +1 := xi - 1
yi +1:= yi - m → int(yi+1)
m>1: xi +1:= xi – 1/m → int(xi+1)
yi +1:= yi – 1

Hai dạng đường thẳng có 0 < m < 1 và m > 1

Tương tự, có thể tính toán các điểm vẽ cho trường hợp m<0: khi |m|<=1 hoặc |m|>1 (sinh viên tự tìm hiểu thêm).

Cài đặt minh họa thuật toán DDA


Procedure DDA ( x1, y1, x2, y2, color : integer ); 
Var dx, dy, step : integer;
X_inc, y_inc , x, y : real ;
Begin
dx:=x2-x1;

dy:=y2-y1;
if abs(dx)>abs(dy) then   steps:=abs(dx)
else steps:=abs(dy); 
x_inc:=dx/steps; 
y_inc:=dy/steps;
x:=x1; 
y:=y1;
 putpixel(round(x),round(y), color);
 for k:=1 to steps do
begin
x:=x+x_inc;

y:=y+y_inc;

putpixel(round(x),round(y),  color);
end;
end;

Thuật toán Bresenham

Gọi (xi +1,yi +1) là điểm thuộc đoạn thẳng (xem hình 1.6). Ta có y:= m(xi +1)+b.

Đặt d1 = yi +1 – yi

d2 = (yi +1) - yi +1

Việc chọn điểm (xi +1, yi +1) là P1 hay P2 phụ thuộc vào việc so sánh d1 và d2 hay dấu của d1 - d2

- Nếu d1-d2<0 : chọn điểm P1, tức là yi +1= yi

- Nếu d1-d2 ≥0 : chọn điểm P2, tức là yi +1= yi +1

Xét Pi = ∆x(d1-d2)

Ta có : d1 - d2 = 2 yi +1 - 2yi – 1

= 2m(xi+1) + 2b - 2yi – 1

⇒ Pi = x (d1 - d2) = x[2m(xi+1) + 2b - 2yi - 1]

= x[2∆y/∆x (xi +1)+ 2b-2yi - 1]

=2 y(xi+1) - 2 x.yi + x(2b - 1)

= 2 y.xi - 2 x.yi + 2 y + x(2b - 1)

Vậy C = 2 y + x(2b - 1) = Const

⇒ Pi = 22 y.xi - 2 x.yi + C

Nhận xét rằng nếu tại bước thứ i ta xác định được dấu của Pi thì xem như ta xác định được điểm cần chọn ở bước (i+1). Ta có :

Pi +1 - Pi = (2 y.xi+1 - 2 x.yi+1 + C) - (2 y.xi - 2 x.yi + C )

⇔ Pi +1 = Pi + 2 y - 2 x ( yi+1 - .yi )

- Nếu Pi < 0 : chọn điểm P1, tức là yi +1= yi và Pi +1 = Pi + 2 y.

- Nếu Pi ≥ 0 : chọn điểm P2, tức là yi +1= yi +1 và Pi +1 = Pi + 2 y - 2 x

- Giá trị P0 được tính từ điểm vẽ đầu tiên (x0 ,y0 ) theo công thức :

P0 = 2 y.x0 - 2 x.y0 + C

Do (x0 ,y0 ) là điểm nguyên thuộc về đoạn thẳng nên ta có :

y0 = m .x0 + Δy/Δx . x0 + b

Thế vào phương trình trên ta được : P0 =2 y - x

Cài đặt minh họa thuật toán Bresenham


Procedure Bres_Line (x1,y1,x2,y2 : integer);
    Var dx, dy, x, y, P, const1, const2 : integer; Begin
    dx : = x2 - x1;
 dy : = y2 - y1; 
P : = 2*dy - dx;
    Const1 : = 2*dy ; 
const2 : = 2*(dy - dx) ;
    x:= x1; y:=y1;
    Putpixel ( x, y, Color);
    while (x < x-2 ) do begin
    x : = x +1 ;
    if (P < 0) then P : = P + const1
else
begin
y:=y +1 ;
P : = P + const2
End;
putpixel (x, y, color) ;
end;
end;

Nhận xét :

Thuật toán Bresenham chỉ thao tác trên số nguyên và chỉ tính toán trên phép cộng và phép nhân 2 (phép dịch bit). Điều này là một cải tiến làm tăng tốc độ đáng kể so với thuật toán DDA.
Ý tưởng chính của thuật toán này là ở chổ xét dấu Pi để quyết định điểm kế tiếp, và sử dụng công thức truy hồi Pi +1 - Pi để tính Pi bằng các phép toán đơn giản trên số nguyên
Tuy nhiên, việc xây dựng trường hợp tổng quát cho thuật toán Bresenham có phức tạp hơn thuật toán DDA.

Thuật toán vẽ đường tròn

Trong hệ tọa độ Descartes, phương trình đường tròn bán kính R có dạng: Với tâm O(0,0) : x2 + y2 = R2

Với tâm C(xc,yc): (x - xc )2 + (y - yc )2 = R2

Trong hệ tọa độ cực : x

Do tính đối xứng của đường tròn C (xem hình 9) nên ta chỉ cần vẽ 1/8 cung tròn, sau đó lấy đối xứng qua 2 trục tọa độ và 2 đường phân giác thì ta vẽ được cả đường tròn.

Thuật toán đơn giản

Cho x = 0, 1, 2, ..., int((R√2)/2)

- Tại mỗi giá trị x, tính int(y = √(R2+x2 ))

- Vẽ điểm (x,y) cùng 7 điểm đối xứng của nó.

Cài đặt minh họa thuật toán đơn giản.

Procedure Circle (xc, yc, R : integer) ;
Var x, y : integer ; Procedure DOIXUNG ;
Begin
 putpixel (xc + x , yc +y, color) ;
putpixel (xc + x , yc - y, color) ;
putpixel (xc - x , yc + y, color) ;
  putixel (xc -x ,yc  -  y,color) ;
 putpixel (xc + y , yc + x, color) ; 
putpixel (xc - y , yc  + x, color) ; 
putpixel (xc + y , yc - x, color) ; 
putpixel (xc - y , yc  - x, color) ;
end;
Begin
For x : = 0 to round(R*Sqrt(2)/2) do
Begin
y : = round(Sqrt(R*R - x*x)) ;
ĐOI XUNG
End;
End;

Thuật toán xét điểm giữa (MidPoint)

Do tính đối xứng của đường tròn nên ta chỉ cần vẽ 1/8 cung tròn, sau đó lấy đối xứng là vẽ được cả đường tròn. Thuật toán MidPoint đưa ra cách chọn yi+1 là yi hay yi-1 bằng cách so sánh điểm thực Q(xi+1,y) với điểm giữa MidPoind là trung điểm của S1 và S2. Chọn điểm bắt đầu để vẽ là (0,R). Giả sử (xi, yi) là điểm nguyên đã tìm được ở bước thứ i (xem hình 10), thì điểm (xi+1, yi+1) ở bước i+1 là sự lựa chọn giữa S1 và S2.

Đường tròn với điểm Q(xi+1, y) và điểm MidPoint.

Đặt F(x,y) = x2 + y2 - R2 , ta có :

. F(x,y) < 0 , nếu điểm (x,y) nằm trong đường tròn.

. F(x,y) = 0 , nếu điểm (x,y) nằm trên đường tròn.

. F(x,y) > 0 , nếu điểm (x,y) nằm ngoài đường tròn. Xét Pi = F(MidPoint) = F(xi +1, yi - 1/2). Ta có :

Nếu Pi < 0 : điểm MidPoint nằm trong đường tròn. Khi đó, điểm thực Q gần với điểm S1 hơn nên ta chọn yi+1 = yi
Nếu Pi >= 0 : điểm MidPoint nằm ngòai đường tròn. Khi đó, điểm thực Q gần với điểm S2 hơn nên ta chọn yi+1= yi - 1. Mặt khác :
Pi+1 - Pi = F(xi+1 +1, yi+1 - 1/2) - F(xi + 1, yi - 1/2)

= [(xi+1 +1)2 + (yi+1 - 1/2)2 - R2 ] - [(xi +1)2 + (yi - 1/2)2 - R2 ]

= 2xi + 3 + ((yi+1)2 + (yi)2 ) - (yi+1 - yi)

Vậy

Nếu Pi < 0 : chọn yi+1 = yi. Khi đó Pi+1 = Pi + 2xi +3
Pi >= 0 : chọn yi+1 = yi - 1. Khi đó Pi+1 = Pi + 2xi - 2yi +5.
Pi ứng với điểm ban đầu ( x0 , y0 ) = (0,R) là:
P0 = F(x0 + 1, y0 - 1/2) = F(1, R - 1/2) = 5/4 -R

Lưu đồ thuật toán MidPoint vẽ đường tròn

Minh họa thuật toán MidPoint:

Procedure DTR(xc,yc,mau:integer);
var  x, y, p : integer ;
begin
x:=0 ;  y:=r;
p:=1 - r;
while ( y > x)  do begin
doi_xung;
if (p < 0) then p:=p+2*x+3
else begin
p:=p+2*(x-y)+5 ;
y:=y-1;
end; x:=x+1; end; {while}
end;

Vẽ đường tròn bằng thuật toán Bresenham

Tương tự thuật toán vẽ đường thẳng Bresenham, các vị trí ứng với các tọa độ nguyên nằm trên đường tròn có thể tính được bằng cách xác định một trong hai pixel gần nhất với đường tròn thực hơn trong mỗi bước ( xem hình 12).

Ta có :

d1 = (yi)2 - y2 = (yi)2 - (R2- (xi + 1)2 )

d2 = y2 - (yi - 1)2 = (R2- (xi + 1)2 ) - (yi - 1)2

Pi = d1 - d2

Tính Pi+1 - Pi

⇒ Pi+1 = Pi + 4xi + 6 + 2((yi+1)2 - (yi)2 ) - 2(yi+1 - yi)

- Nếu Pi < 0 : chọn yi+1 = yi. Khi đó Pi+1 = Pi + 4xi +6

- Nếu Pi >= 0 : chọn yi+1 = yi - 1. Khi đó Pi+1 = Pi + 4(xi - yi ) + 10.

- P0 ứng với điểm ban đầu ( x0 , y0 ) = (0,R) là: P0= 3 - 2R.

Minh họa thuật toán vẽ đường tròn bằng Bresenham

Procedure DTR_BRES(xc,yc,r,mau: integer);
var x,y,p:integer;
begin
      x:=0; y:=r;
      p:= 3- 2*r;
while( x<y) do begin doi_xung;
    if (p<0)thenp:= p+ 4*x + 6
elsebegin
p:=p + 4*(x-y)+ 10;
y:=y-1;
end; x:=x+1; end;{while}
end;

Thuật toán vẽ Ellipse

Tương tự thuật toán vẽ đường tròn, sử dụng thuật toán Bresenham để vẽ, ta chỉ cần vẽ 1/4 ellipse, sau đó lấy đối xứng qua các trục tọa độ sẽ vẽ được toàn bộ ellipse.

Xét ellipse có tâm O, các bán kính là a và b, phương trình là : (x2/a2) + (y2 / b2) = 1

Chọn tọa độ pixel đầu tiên cần hiển thị là (xi ,yi) = (0,b). Cần xác định pixel tiếp theo là (xi+1 ,yi+1). Ta có :

d1 = (yi)2 - y2

d2 = y2 - (yi - 1)2

Pi = d1 - d2

Tính Pi+1 - Pi

⇒ Pi+1 = Pi + 2((yi+1)2 - (yi)2 ) - 2(yi+1 - yi) + (2b2/a2) (2xi + 3)

- Nếu Pi < 0 : chọn yi+1 = yi. Khi đó Pi+1 = Pi + (2b2/a2) (2xi + 3)

- Nếu Pi >= 0 : chọn yi+1 = yi - 1. Khi đó Pi+1 = Pi + (2b2/a2) (2xi + 3) + 4(1-yi)

- Pi ứng với điểm ban đầu ( x0 , y0 ) = (0,b) là: P0 = (2b2/a2) – 2b + 1

Minh họa thuật toán vẽ Ellipse


Procedure Ellipse(xc,yc,a,b : integer);
    varx,y : integer;
    z1, z2, P : real;
    Procedure dx;
Begin
putpixel (xc + x , yc +y, color) ;

putpixel (xc - x , yc + y, color) ; putpixel (xc + x , yc - y, color) ; putpixel (xc -  x , yc- y, color) ;
end;
begin
x:=0 y:=b;
z1:= (b*b)/(a*a);

z2:= 1/ z1;
P:= 2*z1 - 2*b +1;
while (z1* (x/y) ≤ 1) do
 begin
  dx;
if  P < 0 then P:= P + 2*z1*(2*x+3)

else begin

P:= P + 2*z1*(2*x+3) + 4*(1-y);

y:= y -1;
end;

x:= x+1;
end;
x:=a ; y:= 0;

P:= 2*z2 - 2*a +1;
while (z2* (y/x) < 1) do
 begin
dx;
if  P < 0 then P:= P + 2*z2*(2*y+3)

else begin
P:= P + 2*z2*(2*y+3) + 4*(1-x);

x:= x -1;
end;
y:= y +1;

end;
end;

Vẽ đường conics và một số đường cong khác

Phương trình tổng quát của các đường conics có dạng : Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0

Giá trị của các hằng số A, B, C, D, E, F sẽ quyết định dạng của đường conics, cụ thể là nếu:

+ B2 - 4AC < 0 : dạng đường tròn (nếu A=C và B=0) hay ellipse.

+ B2 - 4AC = 0 : dạng parabol.

+ B2 - 4AC > 0 : dạng hyperbol.

Áp dụng ý tưởng của thuật toán Midpoint để vẽ các đường conics và một số đường cong khác theo các bước theo các bước tuần tự sau:

Bước 1: Dựa vào dáng điệu và phương trình đường cong, để xem thử có thể rút gọn phần đường cong cần vẽ hay không.
Bước 2: Tính đạo hàm, từ đó phân thành các vùng vẽ.
+ Nếu 0 ≤ f '(x) ≤ 1 : xi+1 = xi + 1; yi+1 = yi (hoặc = yi +1)

+ Nếu -1≤ f '(x) ≤ 0 : xi+1 = xi + 1; yi+1 = yi (hoặc = yi - 1)

+ Nếu f '(x) > 1 : yi+1 = yi + 1; xi+1 = xi (hoặc = xi +1)

+ Nếu f '(x) < -1 : yi+1 = yi + 1; xi+1 = xi (hoặc = xi +1)
Bước 3 : Tính Pi cho từng trường hợp để quyết định f '(x) dựa trên dấu của Pi. Pi thường là hàm được xây dựng từ phương trình đường cong. Cho Pi=0 nếu (xi , yi) thuộc về đường cong. Việc chọn Pi cần chú ý sao cho các thao tác tính Pi sau này hạn chế phép toán trên số thực.
Bước 4 : Tìm mối liên quan của Pi+1 và Pi bằng cách xét hiệu Pi+1 - Pi
Bước 5 : Tính P0 và hoàn chỉnh thuật toán.

Vẽ đa giác

Định nghĩa đa giác(Polygone):
Đa giác là một đường gấp khúc kín có đỉnh đầu và đỉnh cuối trùng nhau (xem hình 13)
Xây dựng cấu trúc dữ liệu để vẽ đa giác
```
Type
d_dinh = record x,y: longint;
var
end;
dinh = array[0..10] of d_dinh;
d: dinh;
```
Với cách xây dựng cấu trúc dữ liệu như thế này thì chúng ta chỉ cần nhập vào tọa độ các đỉnh và sau đó gọi thủ tục vẽ đường thẳng lần lượt qua 2 đỉnh như (0, 1), (1,2), ..., (n-1, n), trong đó đỉnh n trùng với đỉnh 0 thì ta sẽ vẽ được toàn bộ đa giác.
Đa giác được gọi là lồi
nếu bất kỳ đường thẳng nào đi qua một cạnh của đa giác thì toàn bộ đa giác nằm về một phía của đường thẳng đó. Ngược lại, nếu tồn tại ít nhất một cạnh của đa giác chia đa giác làm 2 phần thì gọi là đa giác lõm (xem hình 14).

Đa giác lồi và đa giác lõm
Thuật toán kiểm tra một đa giác là lồi hay lõm
- Thuật toán 1: Lần lượt thiết lập phương trình đường thẳng đi qua các cạnh của đa giác. Ứng với từng phương trình đường thẳng, xét xem các đỉnh còn lại có nằm về một phía đối với đường thẳng đó hay không ? Nếu đúng thì kết luận đa giác lồi, ngược lại là đa giác lõm.
  Nhận xét : Phương trình đường thẳng y = ax + b chia mặt phẳng ra làm 2 phần. Các điểm nằm C(xc,yc) trên đường thẳng sẽ có yc > axc + b và các điểm D(xd,yd) nằm phía dưới đường thẳng sẽ có yd < axd + b.
  
  Cho đường thẳng AB có phương trình y = độ là C(0,4), D(2,0) ( xem hình 15).
  
  Đường thẳng AB và 2 điểm C, D.
  
  Yd=0 < axd + b=
  $12$ .2 + 1
  
  Vậy hai điểm C, D nằm về hai phía đối với đường thẳng AB.
- Thuật toán 2
  Nhận xét: Trong mặt phẳng Oxy, cho 2 véc tơ a⃗ và b⃗ , Tích vô hướng của 2 véc tơ là :
  
  a⃗ quẹo trái sang b⃗ nếu T ≥0
  
  a⃗ quẹo phải sang b⃗ nếu T < 0
  
  Một đa giác là lồi khi đi dọc theo biên của nó thì chỉ đi theo một hướng mà thôi. Nghĩa là chỉ quẹo phải hay quẹo trái. Ngược lại là đa giác lõm (xem hình 16).
  
  Đa giác lồi có 5 đỉnh.
  
  Xét đa giác gồm các đỉnh P0, P1 ,.... Pn , ( P0 = Pn ) , n ≥ 3 (xem hình 16).
  
  Tính Vi = Pi+1 - Pi , ∀i = 0, 1, ..., n-1.
  
  Tính Ti = T( Vi , Vi+1 )
  
  Nếu với mọi Ti đều cùng dấu thì kết luận đa giác lồi. Ngược lại, là đa giác lõm.

Tổng kết

- Bài đã trình bày khái niệm về một hệ độ họa, sự hiển thị của điểm trên màn hình với tọa độ phài là số nguyên.

- Phân biệt thế nào là hệ tọa độ thế giới thực, hệ tọa độ thiết bị và hệ tọa độ chuẩn.

- Cần lưu ý về hệ số góc của đường thẳng. Bởi vì, với hệ số góc khác nhau thì giải thuật có thay đổi. Nhất là trong giải thuật Bresenham.

- Chú ý hơn trong cách xây dựng cấu trúc dữ liệu để lưu tọa độ của các đỉnh đa giác

- So sánh các trường hợp sử dụng công thức của các đường cong (có tham số và không có tham số).

Bài tập

1. Viết chương trình vẽ bầu trời có 10.000 điểm sao, mỗi điểm sao xuất hiện với một màu ngẫu nhiên. Những điểm sao này hiện lên rồi từ từ tắt cũng rất ngẫu nhiên.

2. Viết chương trình thực hiện 2 thao tác sau :

- Khởi tạo chế độ đồ họa, đặt màu nền, đặt màu chữ, định dạng chữ (settextstyle(f,d,s)), xuất một chuổi ký tự ra màn hình. Đổi font, hướng, kích thước.

- Xuất một chuổi ra màn hình, chuổi này có tô bóng. (lưu ý rằng nội dung chuổi ký tự, màu tô, màu bóng là được nhập từ bàn phím).

3. Viết chương trình vẽ đoạn thẳng AB với màu color theo giải thuật DDA. Biết rằng tọa độ A,B, color được nhập từ bàn phím. Trang trí màu nền, ghi chú các tọa độ A, B ở hai đầu đoạn thẳng.

4. Tương tự như bài tập 3 nhưng sử dụng giải thuật Bresenham. Lưu ý các trường hợp đặc biệt của hệ số góc.

5. Tổng hợp bài tập 4, viết chương trình vẽ đường thằng bằng giải thuật Bresenham cho tất cả các trường hợp của hệ số góc. Lưu ý xét trường hợp đặc biệt khi đường thẳng song song với trục tung hay với trục hoành.

6. Viết chương trình nhập tọa độ 3 điểm A, B, C từ bàn phím. Tìm tọa độ điểm D thuộc AB sao cho CD vuộng góc AB. Vẽ đoạn thẳng AB và CD.

7. Viết chương trình xét vị trí tương đối của 2 đoạn thẳng AB và CD. Biết rằng trong màn hình đồ họa đoạn thẳng AB và CD được gọi là cắt nhau khi hai điểm A, B ở về hai phía của CD và ngược lại.

8. Viết chương trình vẽ đường tròn theo giải thuật đơn giản ( đối xứng ).

9. Viết chương trình vẽ đường tròn theo giải thuật Bresenham.

10. Viết chương trình vẽ đường tròn theo giải thuật MidPoint.

11. Viết chương trình vẽ một đường tròn tâm O bán kính R. Vẽ các đường tròn đồng tâm với O, có bán kính chạy từ 1 đến R. Sau đó xoá các đường tròn đồng tâm này và vẽ các đường tròn đồng tâm khác đi từ R đến 1.

12. Viết chương trình vẽ một đường tròn tâm O bán kính R. Hãy vẽ một đoạn thẳng từ tâm O độ dài R. Hãy quay đoạn thẳng này quanh đường tròn.

13. Viết chương trình vẽ Elippse.

14. Viết chương trình vẽ Elippse có bán kính lớn là a, bán kính nhỏ là b và một đường tròn nội tiếp Elippse. Tô đường tròn bằng các đường tròn đồng tâm. Sau đó tô elippse bằng các elippse đồng tâm có bán kính lớn chạy từ b đến a, bán kính nhỏ là b.

15. Viết chương trình vẽ một hình chữ nhật, một hình vuông và một hình bình hành.

Yêu cầu chú thích tọa độ các đỉnh.

16. Viết chương trình vẽ một tam giác. Tọa độ các đỉnh được nhập từ bàn phím, mỗi cạnh có một màu khác nhau.

17. Viết chương trình vẽ một đa giác có n đỉnh.

18. Viết chương trình xét tính lồi lõm của một đa giác bằng cách thiết lập phương trình đường thẳng đi qua các cạnh của đa giác.

19. Viết chương trình xét tính lồi lõm của một đa giác bằng cách thiết lập các véc tơ chỉ phương của các cạnh.

LTP Production

Header Ads

Giới thiệu thuật toán vẽ và tô các đường cơ bản

Tổng quan

Hệ tọa độ thế giới thực, hệ tọa độ thiết bị và hệ tọa độ chuẩn

Hệ tọa độ thế giới thực

Hệ tọa độ thiết bị

Hệ tọa độ thiết bị chuẩn (Normalized device coordinates)

Thuật toán vẽ đoạn thẳng

Thuật toán DDA (Digital DifferentialAnalyzer)

Thuật toán Bresenham

Thuật toán vẽ đường tròn

Thuật toán đơn giản

Thuật toán xét điểm giữa (MidPoint)

Vẽ đường tròn bằng thuật toán Bresenham

Thuật toán vẽ Ellipse

Vẽ đường conics và một số đường cong khác

Vẽ đa giác

Tổng kết

Bài tập

Post a Comment

Bài Viết Mới Nhất

List Bài Viết Hay

Comments

Random Posts

Recent Posts

Popular Posts

LTP Production

Header Ads

Giới thiệu thuật toán vẽ và tô các đường cơ bản

Tổng quan

Hệ tọa độ thế giới thực, hệ tọa độ thiết bị và hệ tọa độ chuẩn

Hệ tọa độ thế giới thực

Hệ tọa độ thiết bị

Hệ tọa độ thiết bị chuẩn (Normalized device coordinates)

Thuật toán vẽ đoạn thẳng

Thuật toán DDA (Digital DifferentialAnalyzer)

Thuật toán Bresenham

Thuật toán vẽ đường tròn

Thuật toán đơn giản

Thuật toán xét điểm giữa (MidPoint)

Vẽ đường tròn bằng thuật toán Bresenham

Thuật toán vẽ Ellipse

Vẽ đường conics và một số đường cong khác

Vẽ đa giác

Tổng kết

Bài tập

Related Posts

Post a Comment

Bài Viết Mới Nhất

List Bài Viết Hay

Comments

Random Posts

Recent Posts

Popular Posts